1.设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则y²／xz的最小值是：2.不等式（a-2)x²+2(a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为：3.已知a＞0,b＞0,则1／a+1／b＋2根号ab的最小值是:4.不等式f﹙x﹚=

Question

1.设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则y²／xz的最小值是：
2.不等式（a-2)x²+2(a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为：
3.已知a＞0,b＞0,则1／a+1／b＋2根号ab的最小值是:
4.不等式f﹙x﹚=x²－x－2＞ax－5在x∈（0,2）上恒成立,求a的取值范围

Answer 1

1.设x,y,z为正实数
x-2y+3z=0
y = (x+3z)/2
y^2／xz= {(x+3z)/2}^2/(xz)
= (x^2+9z^2+6xz) / (4xz)
= 1/4(x/z+9z/x) + 6/4
= 1/4{(√(x/z) - 3√(z/x)}^2 + 6} + 6/4
= 1/4{(√(x/z) - 3√(z/x)}^2 + 6/4 + 6/4
= 1/4{(√(x/z) - 3√(z/x)}^2 + 3 ≥ 3
最小值3
2.
(a-2)x^2+2(a-2)x-4 = (a-2)(x+1)^2 - (a-2) -4 = (a-2)(x+1)^2 - (a+2)
首先,a=2时,(a-2)x^2+2(a-2)x-4 = 0+0-4 = -4＜0恒成立；
a≠2时,必须f(x) = (a-2)(x+1)^2 - (a+2) 的图像始终在x轴下方
∴二次项系数a-2＜0,极值-(a+2)＜0
a＜2,a＞-2
∴-2＜a＜2
综上：∴-2＜a ≤ 2
3.
a＞0,b＞0
1／a+1／b＋2根号ab
= (1/√a-1/√b)^2 + 2/√(ab) + 2√(ab)
= (1/√a-1/√b)^2 + 2{1/√√(ab) -√√(ab)}^2 + 4
(1/√a-1/√b)^2 ≥0, 2{1/√√(ab) -√√(ab)}^2 ≥ 0
当a=b=1时取最小值4
4.
f﹙x﹚=x²－x－2＞ax－5在x∈（0,2）上恒成立
相当于g(x) = x²－x－2 - ax + 5 = x² - (a+1)x + 3 ＞0在x∈（0,2）上恒成立
g(x)开口向上,对称轴x=(a+1)/2
假设(a+1)/2 ≤ 0,即a≤-1,区间（0,2）在对称轴右侧,g(x)单调增,最小值f(0) = 0+0+ 3恒＞0
假设(a+1)/2≥2,即a≥3,区间（0,2）在对称轴左侧,g(x)单调减,最小值f(2) = 4-2(a+1)+3=5-2a＞0,a＜5/2,故无解
假设0＜(a+1)/2＜2,对称轴在区间内,必须极小值＞0,{4*1*3-(a+1)^2}/4＞0,-1-2√3＜a＜-1+2√3,故：-1＜a＜-1+2√3
综上：a ＜-1+2√3