问题提出平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．初步思考（1）如图①，在等边△

Question

问题提出
平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．
初步思考
（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC=CE，连接DE，分别交AB、AC于点M、N．求证：DA²=DB•DE．
深入研究
（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P可能为△ABC的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）如图①；

（2）∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
在△ADB和△ABC中

AD=AC

AB=AB

DB=CB

∴△ADB≌△ABC，
同理：△ACE≌△ABC．
∴∠BAD=∠BAC=∠CAE=36°，∠ADB=∠ABD=∠ABC=72°，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=108°，
∵AD=AB=AC=AE，
∴∠ADE=∠AED=36°=∠BAD，
∴∠BDM=∠BDA-∠MDA=36°，
∠BMD=∠ADM+∠DAM=72°=∠ABD，
∴DB=DM． 
∵∠DBM=∠ABD，∠AED=∠BAD，
∴△DAM∽△DEA，
∴(DM)/(DA)=(DA)/(DE)，
∴DA²=DM•DE，
∵DM=DB，
∴DA²=DB•DE． 
（3）
第一种如图①或图②（只需画一个即可），∠BAC=60°．

第二种如图③，∠BAC=36°； 
第三种如图④，∠BAC=108°；
第四种如图⑤，∠BAC=120°．

以上共四种：60°、36°、108°、120°．