对于平面上任意n个点构成的点集P,如果其中任意两点之间距离均已确定,那么就成这个点集是“稳定的”.求证：在n（n》4）个点的平面点集P中,无三点共线,且其中的n(n-3)/2+4个两点之间距离已

Question

对于平面上任意n个点构成的点集P,如果其中任意两点之间距离均已确定,那么就成这个点集是“稳定的”.求证：在n（n》4）个点的平面点集P中,无三点共线,且其中的n(n-3)/2+4个两点之间距离已被确定,那么点集P就是“稳定的”.

Answer 1

证明:首先证明一个引理:若平面上给定三个不共线的点A,B,C,且平面上点P到A,B,C距离均已确定,则点P位置也唯一确定.
事实上,分别以点A,B为圆心,PA,PB为半径作圆,
若两圆相切,则切点就是P点
若两圆相交于D,E两点,则DC,EC肯定不相等(若DC=EC,则C在线段DE的垂直平分线上,而两圆公共弦DE的垂直平分线就是连心线AB,导致C在AB上,与A,B,C不共线矛盾)
这说明DC,EC只能有1个等于PC,不妨设DC=PC,则点D就是P点
下面用数学归纳法证明本题:
当n=4时,n(n-3)/2+4=6,于是4个点之间任意两点之间距离均已确定,结论成立
假设当n=k时结论成立,当n=k+1时,分两种情况讨论:
1,其中任意两点之间距离均已确定,此时结论成立
2,有两点之间距离尚未确定,这说明存在1个点,它至多与其它k-1个点之间距离已被确定,将这个点去掉后,剩下的k个点中,至少有(k+1)(k-2)/2+4-(k-1)=k(k-3)/2+4个两点之间距离已被确定,由归纳假设,剩下的k个点是“稳定的”
又因为k+1个点中(k+1)(k-2)/2+4个两点之间距离已被确定,而剩下的k个点中最多有k(k-1)/2个两点之间距离已被确定,(k+1)(k-2)/2+4-k(k-1)/2=3,固去掉的那个点至少与剩下的k个点中三个点之间的距离已被确定,从而由引理可知去掉的那个点的位置被剩下的k个点唯一确定,于是得证