已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C过点P（1，e），奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）若在y轴右侧图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图

Question

已知函数f（x）=e^2ax（a∈R）的图象C过点P（1，e），奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．
（1）求实数a，b的值；
（2）若在y轴右侧图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；
（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x₁，x₂，设x₁<x₂，求证：x₁•x₂<1．

Answer 1

（1）∵f（1）=e，
∴e2a=e⇒a=(1)/(2)，…[（2分）]，
∵g（x）=kx+b为奇函数，
∴b=0；…[（4分）]
（2）由（1）知f（x）=e^x，g（x）=kx，…[（5分）]
因为y轴右侧图象C恒在l的上方，
所以当x>0时，e^x>kx恒成立，…[（6分）]
∴k<(ex)/(x)，x∈(0，+∞)，…[（7分）]
记h(x)=(ex)/(x)，x∈(0，+∞)，则h′(x)=(x-1)/(x2)ex，
由h'（x）>0⇒x∈（1，+∞），
∴h（x）在（0，1]单调减，在[1，+∞）单调增，…[（8分）]
h（x）∈[e，+∞），
∴k∈（-∞，e），…[（10分）]
证明：（3）由（2）知0<x₁<1<x₂，设x₂=tx₁（t>1），…[（11分）]
∵ex1=kx1，ex2=kx2，
∴ex2-x1=(x2)/(x1)⇒e(t-1)x1=t，…[（12分）]
(t-1)x1=lnt⇒x1=(lnt)/(t-1)，
∴x1x2=t

x

2 1

=t((lnt)/(t-1))2，…[（13分）]
要证x₁x₂<1，即证√(t)(lnt)/(t-1)<1，令μ=√(t)(μ>1)，
即证2μlnμ<μ²-1⇒2μlnμ-μ²+1<0，
令φ（μ）=2μlnμ-μ²+1（μ>1），即证φ（μ）<0，
φ′(μ)=2lnμ-2μ+2⇒φ″(μ)=(2)/(μ)-2=(2(1-μ))/(μ)，
∵μ>1，∴φ''（μ）<0，
∴φ'（μ）在（1，+∞）上单调减，
∴φ'（μ）<φ'（1）=0，
∴φ（μ）在（1，+∞）上单调减，
∴φ（μ）<φ（1）=0，
所以x₁•x₂<1…[（16分）]