已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）当a=0，求f（x）的最小值；（II）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（III）当a＞0，b＞0，求证f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．

Question

已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）
（I）当a=0，求f（x）的最小值；
（II）若函数f（x）在区间[e²，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（III）当a＞0，b＞0，求证f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．

Answer 1

（I）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝lnx+1，令f′(x)＝0，得：x＝(1)/(e)，
当x∈（0，+∞）时，f'（x），f（x）的变化的情况如下：

x	(0，(1)/(e))	(1)/(e)	((1)/(e)，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴由表格可知：函数f（x）在区间（0，+∞）上有唯一的极小值，因此也是最小值．
即f(x)在(0，+∞)最小值是f((1)/(e))＝−(1)/(e)．
（II） 由题意得：f'（x）=lnx+a+1，
∵函数f（x）在区间[e²，+∞）上为增函数，∴当x∈[e²，+∞）时f'（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e²，+∞）上恒成立，∴a≥-1-lnx，
又当x∈[e²，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]，
∴a≥-3．
（III）原不等式可化为：f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2，
设函数g（x）=f（x）+f（k-x）（k＞0）．
则g（x）=xlnx+（k-x）ln（k-x）（0＜x＜k），
g′(x)＝lnx+1−ln(k−x)−1＝ln(x)/(k−x)，
令g^′（x）＞0，则ln(x)/(k−x)＞0，∴(x)/(k−x)＞1，∴(2x−k)/(k−x)＞0，解得(k)/(2)＜x＜k．
令g′(x)＜0，解得：0＜x＜(k)/(2)，
∴函数g(x)在(0，(k)/(2))上单调递减，在((k)/(2)，k)上单调递增，
∴g（x）在（0，k）上的最小值为g((k)/(2))，
∴当x∈（0，k）时，总有g(x)≥g((k)/(2))，
即f（x）+f（k-x）≥f((k)/(2))+f(k−(k)/(2))＝2f((k)/(2))=kln(k)/(2)=klnk-kln2=f（k）-kln2
令x=a，k-x=b，则有：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．