设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证：至少存在η∈（a,b）,使ηf(η)+f'(η)=0.

Question

设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.
设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证：至少存在η∈（a,b）,使ηf(η)+f'(η)=0.

Answer 1

令F(x)=xf(x) F'(x)=f(x)+xf'(x)
显然满足罗尔定理的前2个条件
又因为
F(a)=F(b)=0
所以
至少存在一点η∈（a,b）
使得
F'(η)=0
即
ηf(η)+f'(η)=0.