已知函数f（x）=ln（x+2）-x22a，（a为常数且a≠0），若f（x）在x0处取得极值，且x0∉[e+2，e2+2]，而f（x）≥0在[e+2，e2+2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．a≥e4+2e2B．a＞e4+2e2C．．a≥e2+2eD

Question

已知函数f（x）=ln（x+2）-(x2)/(2a)，（a为常数且a≠0），若f（x）在x₀处取得极值，且x₀∉[e+2，e²+2]，而f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．a≥e⁴+2e²
B．a＞e⁴+2e²
C．．a≥e²+2e
D．a＞e²+2e

Answer 1

求导数可得f′(x)＝(1)/(x+2)−(x)/(a)，令f′（x）=0，可得x₀=1±√(a+1)
∴函数在（-∞，1-√(a+1)）上单调减，在（1-√(a+1)，1+√(a+1)）上单调增，在（1+√(a+1)，+∞）上单调减
∵f（x）在x₀处取得极值，且x₀∉[e+2，e²+2]，
∴函数在区间[e+2，e²+2]上是单调函数
∴

1+√(a+1)＞e2+2

f(e+2)≥0

或

e+2＞1+√(a+1)

f(e2+2)≥0

∴a＞e⁴+2e²
∴a的取值范围是a＞e⁴+2e²，
故选B．