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设α1，α2，…，αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1，e2，…，en能由它们线性表示，证明：α1，α2，…，αn线性无关．
题目详情
设α1，α2，…，αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1，e2，…，en能由它们线性表示，证明：α1，α2，…，αn线性无关．
▼优质解答
答案和解析
证明：由于任意一组n维向量都可以由n维单位向量组线性表示，即
α1，α2，…，αn能由n维单位坐标向量e1，e2，…，en线性表示
而已知“n维单位坐标向量e1，e2，…，en能由α1，α2，…，αn线性表示”
∴α1，α2，…，αn是与n维单位坐标向量e1，e2，…，en等价的
∴r（α1，α2，…，αn）=r（e1，e2，…，en）=n
∴α1，α2，…，αn线性无关．
α1，α2，…，αn能由n维单位坐标向量e1，e2，…，en线性表示
而已知“n维单位坐标向量e1，e2，…，en能由α1，α2，…，αn线性表示”
∴α1，α2，…，αn是与n维单位坐标向量e1，e2，…，en等价的
∴r（α1，α2，…，αn）=r（e1，e2，…，en）=n
∴α1，α2，…，αn线性无关．
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