已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足

Question

已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.
已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x²﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁,x₂是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足（k﹣1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．
①求k的值；
②当k≦x≦k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最大值．

Answer 1

(1)当k＝1时,函数为一次函数y＝－2x＋3,其图象与x轴有一个交点．
当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0．△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0,解得k≤2．即k≤2且k＝1．
(2)①∵x1≠x2,由(1)知k＜2且k＝1．由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1．(*)将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得：2k(x1＋x2)＝4x1x2．又∵x1＋x2＝,x1x2＝,∴2k·＝4·． 解得：k1＝－1,k2＝2(不合题意,舍去)．∴所求k值为－1．②如图5,∵k1＝－1,y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－)2＋．且－1≤x≤1． 由图象知：当x＝－1时,y最小＝－3；当x＝时,y最大＝∴y的最大值为,最小值为－3．