设e1,e2是两个不共线的单位向量,且满足｜ke1+e2｜=λ｜e1-ke2｜,其中k>0,λ不等于0（1）求证：（e1+e2)垂直于（e1-e2)(2)向量e1,e2能否垂直?说明理由.（3）如果k=2,3/7

Question

设e1,e2是两个不共线的单位向量,且满足｜ke1+e2｜=λ｜e1-ke2｜,其中k>0,λ不等于0
（1） 求证：（e1+e2)垂直于（e1-e2)
(2)向量e1,e2能否垂直?说明理由.
（3）如果k=2,3/7

Answer 1

1）（e1+e2)·（e1-e2)=e1^2-e2^2.因为是单位向量,所以原式=0.所以垂直.
2）能,｜ke1+e2｜^2=(λ｜e1-ke2｜)^2,得2（λ^2+1)ke1·e2+（k^2+1)(1-λ^2)=0.
所以当λ=正负1时,e1⊥e2
3）｜ke1+e2｜^2=(λ｜e1-ke2｜)^2.将k=2带入,得4（λ^2+1)·cosθ+5（1-λ^2)=0.
所以cosθ=-5（1-λ^2)/4·(λ^2+1).设λ^2=x.所以3/7