直线与椭圆相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有A1个B2个C3个D4个

Question

直线与椭圆相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有

• A

  1个
• B

  2个
• C

  3个
• D

  4个

Answer 1

【分析】设出P₁的坐标，表示出四边形P₁AOB面积S利用两角和公式整理后．利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得ΔP₁AB的最大值，利用判断出点P不可能在直线AB的上方，进而推断出在直线AB的下方有两个点P，

设P₁(4cosα，3sinα)(0<α<)，即点P₁在第一象限的椭圆上，考虑四边形P₁AOB面积S，
\nS=S_ΔOAP1+S_ΔOBP1=×4(3sinα)+×3(4cosα)=6(sinα+cosα)=6sin(α+)，
\n∴S_max=6．
\n∵S_ΔOAB=×4×3=6为定值，
\n∴S_ΔP1AB的最大值为6-6．
\n∵，
\n∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，
\n故选B．

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．