如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁的中点，AC交BD于点O，求证：A₁O⊥平面MBD．

Answer 1

证明：连接MO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O⊂平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=(√(2))/(2)，
tan∠MOC=(√(2))/(2)，∴∠AA₁O=∠MOC，
则∠A₁OA+∠MOC=90°．∴A₁O⊥OM．
∵OM∩DB=O，∴A₁O⊥平面MBD．