如图所示，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C，AC＝AD，CD交AB于E，BF⊥直线L，垂足为F，BF交⊙O于C．（1）图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；（2）若sin∠CBF＝55，AE=4，求AB的值

Question

如图所示，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C，

AC

＝

AD

，CD交AB于E，BF⊥直线L，垂足为F，BF交⊙O于C．
（1）图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；
（2）若sin∠CBF＝(√(5))/(5)，AE=4，求AB的值．

Answer 1

（1）FG=AE，理由如下：
连接CG、AC、BD；
∵

AC

＝

AD

，
∴BA⊥CD，
∴

BC

＝

BD

，即∠D=∠BCD；
∵直线L切⊙O于C，
∴∠BCF=∠D=∠BCD，
∴∠FBC=∠ABC，
∴

CG

＝

AC

，CE=CF；
∴AC=CG；
△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG=90°，
∴Rt△AEC≌Rt△GCF，则AE=FG．
（2）∵FC切⊙O于C，
∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠CBF=(√(5))/(5)；
在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠FCG=4√(5)；
∴AC=CG=4√(5)；
在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：
AC²=AE•AB，即AB=AC²÷AE=20．