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已知:如图1,PA切⊙O于A点,割线PCB交⊙O于C、B两点,D是线段BP上一点,且PD2=PB•PC,直线AD交⊙O于E点.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)求证:AB•AC=AD•AE;(3)若把题中条件“D是线段BP上一
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已知:如图1,PA切⊙O于A点,割线PCB交⊙O于C、B两点,D是线段BP上一点,且PD2=PB•PC,直线AD交⊙O于E点.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)求证:AB•AC=AD•AE;
(3)若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”(如图2),则题(2)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.

(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)求证:AB•AC=AD•AE;
(3)若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”(如图2),则题(2)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.

▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAC=∠ABC,PA2=PC•PB
∵PD2=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠PAC+∠DAC=∠ABC+∠BAE
∵∠PAC=∠ABC
∴∠DAC=∠BAE
∴AD平分∠BAC;
(2)证明:连接BE,则∠AEB=∠ACB
∵∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ADC
∴
=
即:AB•AC=AD•AE;
(3)(2)的结论仍然成立,
证明:连接BE
∵AB是直径
∴∠AEB=∠ACB=∠ACD=90°
∵PA是⊙O的切线
∴PA2=PC•PB,∠BAP=90°
∵PD2=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∵∠BAP=90°,∠BEA=90°
∴∠BAE+∠PAD=∠BAE+∠EBA=90°
∴∠PAD=∠EBA
∵∠BEA=∠ACD=90°
∴△ABE∽△ADC
∴
=
,即:AB•AC=AD•AE
因此,(2)的结论仍然成立.

∴∠PAC=∠ABC,PA2=PC•PB
∵PD2=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠PAC+∠DAC=∠ABC+∠BAE
∵∠PAC=∠ABC
∴∠DAC=∠BAE
∴AD平分∠BAC;
(2)证明:连接BE,则∠AEB=∠ACB
∵∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ADC
∴
AB |
AE |
AD |
AC |
(3)(2)的结论仍然成立,
证明:连接BE
∵AB是直径
∴∠AEB=∠ACB=∠ACD=90°
∵PA是⊙O的切线
∴PA2=PC•PB,∠BAP=90°
∵PD2=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∵∠BAP=90°,∠BEA=90°
∴∠BAE+∠PAD=∠BAE+∠EBA=90°
∴∠PAD=∠EBA
∵∠BEA=∠ACD=90°
∴△ABE∽△ADC
∴
AB |
AE |
AD |
AC |
因此,(2)的结论仍然成立.
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