a利用数学归纳法,证明1+(1+x)+...+(1+x)^n=((1+x)^n-1)/x,n=1,2,3b由此,或用其它方法,证明当n>=3时3c3+4c3+5c3+nc3=n+1c4

Question

a利用数学归纳法,证明1+(1+x)+...+(1+x)^n=((1+x)^n-1)/x,n=1,2,3
b由此,或用其它方法,证明当n>=3时3c3+4c3+5c3+nc3=n+1c4

Answer 1

n=1时,(1-x)(1+x)=1-x^2 命题成立.
设n=k时命题成立,
即有:(1-x)(1+x+x^2+……+x^(k-1)）=1-x^k,
则当n=k+1时,有:
(1-x)(1+x+x^2+……+x^(k-1)+x^k)=
=(1-x)(1+x+x^2+……+x^(k-1))+(1-x)*x^k
=1-x^k+(1-x)*x^k
=1-x^k+x^k-x^(k+1)
=1-x^(k+1),
知命题仍成立.
由数学归纳法知,此命题对任何正整数成立.