求助达人,帮忙证明A、B、∧都是n阶方阵,∧是对角阵.A=B^(-1)∧B,∧的n个对角元素分别为λ1、λ2、λ3…λn求证：exp(iA)=B(-1)∧'B,∧'也是n阶对角阵,元素分别为exp(iλ1)、exp(iλ2)、exp(iλ3)…exp(iλn)

Question

求助达人,帮忙证明
A、B、∧都是n阶方阵,∧是对角阵.A=B^(-1)∧B,∧的n个对角元素分别为λ1、λ2、λ3…λn
求证：exp(iA)=B(-1)∧'B,∧'也是n阶对角阵,元素分别为exp(iλ1)、exp(iλ2)、exp(iλ3)…exp(iλn)

Answer 1

证明：
利用麦克劳林展开式 e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……
将x=iA代入上面的展开式得到
exp(iA)=E+(iA)+(iA)^2/2!+(iA)^3/3!+……（其中E是n阶单位矩阵）
将A=B^(-1)∧B代入式子exp(iA)=E+(iA)+(iA)^2/2!+(iA)^3/3!+……
注意,利用A^k=[B^(-1)∧B]^k=[B^(-1)∧B][B^(-1)∧B][B^(-1)∧B]……=B^(-1)(∧^k)B
可以得到
exp(iA)=E+(iB^(-1)∧B)+(iB^(-1)∧B)^2/2!+(iB^(-1)∧B)^3/3!+……
=B^(-1)B+iB^(-1)i∧B+B^(-1)[(i∧)^2]B/2!+B^(-1)[(i∧)^3]B/3!+……
=B^(-1)[E+(i∧)+(i∧)^2/2!+(i∧)^3/3!+……]B
=B^(-1)exp(i∧)B
由于∧是n个对角元素分别为λ1、λ2、λ3…λn的对角阵
所以exp(i∧)是n个对角元素分别为exp(iλ1)、exp(iλ2)、exp(iλ3)…exp(iλn)的对角阵
至此问题得证