已知两个等比数列倒序相乘得一新数列,求新数列的前n项和如:求Tn＝2∧1×3∧(n-2)+2∧2×3∧(n-3)+2∧3×3∧(n-4)+……+2∧(n-2)×3∧1+2∧(n-1)×3∧0

Question

已知两个等比数列倒序相乘得一新数列,求新数列的前n项和
如:求Tn＝2∧1×3∧(n-2)+2∧2×3∧(n-3)+2∧3×3∧(n-4)+……+2∧(n-2)×3∧1+2∧(n-1)×3∧0

Answer 1

考察数列一般项第k项：
2^k×3^(n-k-1)=(2/3)^k×3^(n-1)
Tn=2∧1×3∧(n-2)+2∧2×3∧(n-3)+2∧3×3∧(n-4)+……+2∧(n-2)×3∧1+2∧(n-1)×3∧0
=[3^(n-1)]×[(2/3)+(2/3)^2+...+(2/3)^(n-1)]
=[3^(n-1)]×(2/3)×[1-(2/3)^(n-1)]/(1-2/3)
=[3^(n-1)]×2×[1-2^(n-1)/3^(n-1)]
=2×3^(n-1) -2^n