已知三角形的三条边a，b，c适合等式：a3+b3+c3=3abc，请确定三角形的形状．

Question

已知三角形的三条边a，b，c适合等式：a³+b³+c³=3abc，请确定三角形的形状．

Answer 1

解，依题意：a³+b³+c³=3abc，
而a³+b³+c³-3abc+a³+b³+c³-3abc

=(a+b)(a2-ab+b2)+c3-3abc

=(a+b)[(a+b)2-3ab]+c3-3abc

=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)•c+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

=0

∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a+b+c＞0，

a2+b2+c2-ab-ac-bc=0

2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0

(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0

∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴只有（a-b）²=0，（a-c）²=0，（b-c）²=0，
∴a=b=c，即三角形为等边三角形．