已知三角形ABC的周长为1,并且sin2A+sin2B=4sinAsinB.1)证明：三角形ABC是直角三角形；2)求三角...已知三角形ABC的周长为1,并且sin2A+sin2B=4sinAsinB.1)证明：三角形ABC是直角三角形；2)求三角形ABC面积的

Question

已知三角形ABC的周长为1,并且sin2A+sin2B=4sinAsinB.1)证明：三角形ABC是直角三角形；2)求三角...
已知三角形ABC的周长为1,并且sin2A+sin2B=4sinAsinB.1)证明：三角形ABC是直角三角形；2)求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

1证明：
和差化积公式：
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
所以等式左边可化为：
sin2A+sin2B
=2sin(A+B)cos(A-B)
=2sinCcos(A-B)
积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2
所以等式右边可化为：
-2[cos（A+B）-cos（A-B）]
=2cosC+2cos（A-B）
所以：










2sinCcos(A-B)=2cosC+2cos（A-B）
(sinC-1)cos（A-B）-cosC=0
-(sinC/2-cosC/2)^2cos(A-B)-(cosC/2-sinC/2)(cosC/2+sinC/2)=0
(cosC,/2-sinC/2)[(sinC/2-cosC/2)cos(A-B)-(cosC/2+sinC/2)]=0
(cosC/2-sinC/2)[sinC/2（(cos(A-B)-1)-cosC/2(cos（A-B）+1)]=0
在sinC/2（(cos(A-B)-1)-cosC/2(cosC/2+1)中,
因为sinC/2>0,(cos(A-B)-1≤0
所以sinC/2（(cos(A-B)-1)≤0,
因为cosC/2>0,(cosC/2+1)>0
所以cosC/2(cosC/2+1)>0
所以：sinC/2（(cos(A-B)-1)-cosC/2(cosC/2+1)