设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边为a，b，c，若A，B，C依次成等差数列且a2+c2=kb2，则实数k的取值范围是．

Question

设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边为a，b，c，若A，B，C依次成等差数列且a²+c²=kb²，则实数k的取值范围是___．

Answer 1

∵A+B+C=π，且角A、B、C成等差数列，
∴B=π-（A+C）=π-2B，解之得B=(π)/(3)，
∵a²+c²=kb²，
∴sin²A+sin²C=ksin²B=(3k)/(4)，
∴k=(4)/(3)[sin²A+sin²（(2π)/(3)-A）]=(4)/(3)[(5)/(4)sin²A+(3)/(4)cos²A+(√(3))/(2)sinAcosA）]=(2)/(3)sin（2A-(π)/(6)）+(4)/(3)，
∵0<A<(2π)/(3)，
∴-(π)/(6)<2A-(π)/(6)<(7π)/(6)，
∴-(1)/(2)<sin（2A-(π)/(6)）≤1，
∴1<(2)/(3)sin（2A-(π)/(6)）+(4)/(3)≤2，
∴实数k的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．