已知a,b为两个正数,且a>b,设a1=(a+b)/2,b1=根号(ab),,当n≥2,nΕN+时,an=（an-1+bn-1）/2,bn=根号（an-1bn-1）(1)证明：数列{an}是单调递增数列,数列{bn}是单调递减数列(2)证明：an+1-bn+1

Question

已知a,b为两个正数,且a>b,设a1=(a+b)/2,b1=根号(ab),
,当n≥2,nΕN+时,an=（an-1+bn-1）/2,bn=根号（an-1bn-1）
(1) 证明：数列{an}是单调递增数列,数列{bn}是单调递减数列
(2) 证明：an+1-bn+1

Answer 1

（1）证明：
数列{an}是单调递减数列,数列{bn}是单调递增数列.
【也就是说,你的题目写反了】【题目错】
①
当n≥2,an+1 - an=（an-+bn）/2-an=（bn-an）/2=[根（an-1*bn-1)-(an-1+bn-1)/2]/2=
-1/4*【根号（an-1)-根号(bn-1）】^2bn(下面注)
bn是正数数列
当n≥2时,bn+1 /bn =根号 (an/bn)>1
即,n≥2,bn+1>bn
又 b2/b1*********同上(也是因为没有a0、b0,需要补充写)
故命题得证
注：(标准配方法,或常见不等式都可以)【两个不相等的正数的算术平均数大于几何平均数】
(2)证明：上题已得 n≥2时,an>bn；又a1>b1
故 an>bn
所以 根号(anbn)>根号(bnbn)=bn
所以 左边=an+1-bn+1=（an+bn）/2-根号(anbn)