（2011•郑州二模）已知数列{an}的前n项和Sn=2-an，数列{bn}满足b1=1，b3+b7=18，且bn-1+bn+1=2bn（n≥2）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=bnan，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

（2011•郑州二模）已知数列{a_n}的前n项和S_n=2-a_n，数列{b_n}满足b₁=1，b₃+b₇=18，且b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=(bn)/(an)，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）由题意S_n=2-a_n ①，当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1 ②，①-②得  a_n=S_n-S_n-1 =a_n-1-a_n ，
即an＝(1)/(2)an−1，又a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1，故数列{a_n}是以1为首项，(1)/(2)为公比的等比数列，所以an＝(1)/(2n−1)．
由b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）知，数列{b_n}是等差数列，设其公差为d，
则b5＝(1)/(2)(b3+b7)＝9，所以d＝(b5−b1)/(4)＝2，b_n=b₁+（n-1）d=2n-1；
综上，数列{a_n}和{b_n}的通项公式为 an＝(1)/(2n−1)，bn＝2n−1．
（Ⅱ）cn＝(bn)/(an)＝(2n−1)•2n−1，

Tn＝c1+c2+c3+…+cn

=

1×20+3×21+5×22++(2n−1)×2n−1，

  ③
∴2T_n=1×2¹+3×2²++（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，④
③-④得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
整理得−Tn＝1+2×(2−2n)/(1−2)−(2n−1)•2n＝−(2n−3)•2n−3，所以T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．