在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算．定义：如果

Question

在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算．
定义：如果2³=8，所以log₂8=3：因为3²=9，所以log₃9=2
根据以上信息回答下列问题：
（1）计算：log₃81=___，log₃3=___，log₆36=___，log_x16=4，则x=___．
（2）设a^x=M，a^y=N（a>0，且a≠1，M>0，N>0），猜想log_aMN和log_a (M)/(N)的结果，并证明．
（3）计算：①log₂（2×4×8×16×32×64）；②log₃ (243)/(81)；③log₉3+log₉27．

Answer 1

（1）log₃81=log₃3⁴=4，log₃3=1，log₆36=log₆6²=2，log_x16=4，则x=2；
故答案为：4；1；2；2；
（2）log_aMN=log_aM+log_aN；log_a(M)/(N)=log_aM-log_aN；
证明：log_aMN=log_aa^x•a^y=log_aa^x+y=x+y；log_aM+log_aN=x+y，
则log_aMN=log_aM+log_aN；
log_a(M)/(N)=log_a(ax)/(ay)=log_aa^x-y=x-y；log_aM-log_aN=x-y，
则log_a(M)/(N)=log_aM-log_aN；
（3）①原式=log₂2+log₂4+log₂8+log₂16+log₂32+log₂64=1+2+3+4+5+6=21；
②原式=log₃243-log₃81=5-4=1；
③原式=log₉3×27=log₉81=2．