已知函数f（x）=log2（3+2x-x2）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求证f（x）在x∈（1，3）上是减函数；（3）求函数f（x）的值域．

Question

已知函数f（x）=log₂（3+2x-x²）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证f（x）在x∈（1，3）上是减函数；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

（1）由3+2x-x²＞0得-1＜x＜3，函数f（x）的定义域是{x|-1＜x＜3}
（2）设1＜x₁＜x₂＜3，则3+2x₂-x₂²-（3+2x₁-x₁²）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2），
∵1＜x₁＜x₂0
∴3+2x₂-x₂²-（3+2x₁-x₁²）＜0，∴3+2x₂-x₂²＜3+2x₁-x₁²，
∴log₂（3+2x₂-x₂²）＜log₂（3+2x₁-x₁²）．
∴f（x）在x∈（1，3）上是减函数．
（3）当-1＜x＜3时，有0＜3+2x-x²≤4．
f（1）=log₂4=2，所以函数f（x）的值域是（-∞，2]．