已知数列{an}、{bn}满足：a1=14，an+bn＝1，bn+1＝bn1−an2（1）求b1，b2，b3，b4的值，并求数列{bn}的通项公式（2）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求实数a为何值时，4aSn＜bn恒成立．

Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=(1)/(4)，an+bn＝1，bn+1＝(bn)/(1−an2)
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值，并求数列{b_n}的通项公式
（2）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数a为何值时，4aS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

（1）bn+1＝(bn)/(1−(1−bn)2)＝(1)/(2−bn)，
∵a1＝(1)/(4)，b1＝(3)/(4)，
∴b2＝(4)/(5)，b3＝(5)/(6)，b4＝(6)/(7)，
∵a1＝(1)/(4)，an+bn＝1，bn+1＝(bn)/(1−an2)，
∴1−an+1＝(1−an)/(1−an2)，
化简得(1)/(an+1)−(1)/(an)＝1，而(1)/(a1)＝4，
∴an＝(1)/(n+3)，
从而bn＝1−an＝(n+2)/(n+3)．
（2）∵an＝(1)/(n+3)，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n•a_n+1
=(1)/(4×5)+(1)/(5×6)+…+(1)/((n+3)(n+4))＝(1)/(4)−(1)/(n+4)＝(n)/(4(n+4))，
∴4aSn−bn＝(an)/(n+4)−(n+2)/(n+3)＝((a−1)n2+(3a−6)n−8)/((n+3)(n+4))，
由条件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，
即可满足条件，
设f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立
当a＜1时，对称轴是−(3(a−2))/(2(a−1))＜0f（n）在[1，+∞）为单调递减函数，
f（1）=4a-15＜0，∴a＜(15)/(4)，而a＜1，∴当a＜1时恒成立．
综上知a≤1时，4aSn＜b恒成立．