如图：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的高为，△AnBnAn+1的面积为．

Question

如图：∠MON=30°，点A₁、A₂、A₃…在射线ON上，点B₁、B₂、B₃…在射线OM上，△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄…均为等边三角形，若OA₁=1，则△A₆B₆A₇的高为___，△A_nB_nA_n+1的面积为___．

Answer 1

∵△A₁B₁A₂为等边三角形，
∴∠B₁A₁A₂=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠OB₁A₂=90°，可求得A₁A2=2OA₁=2，
同理可求得OA_n+1=2OA_n=4OA_n-1=…=2^n-1OA₂=2ⁿOA₁=2ⁿ，
在△OB_nA_n+1中，∠O=30°，∠B_nA_n+1O=60°，
∴∠OB_nA_n+1=90°，
∴B_nA_n+1=(1)/(2)OA_n+1=(1)/(2)×2ⁿ=2^n-1，
即△A_nB_nA_n+1的边长为2^n-1，则可求得其高为(√(3))/(2)×2^n-1=√(3)×2^n-2，
∴△A₆B₆A₇的高为√(3)×2^6-2=16√(3)，△A_nB_nA_n+1的面积为(√(3))/(4)×（2^n-1）²=√(3)×2^2n-4，
故答案为：16√(3)；√(3)×2^2n-4．