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设f（x）在[0，a]有连续的一阶导数，在（0，a）二阶可导且f″（x）＞0（x∈（0，a）），又f（0）=0．证明：∫a0xf（x）dx＞2a3∫a0f（x）dx．
题目详情
设f（x）在[0，a]有连续的一阶导数，在（0，a）二阶可导且f″（x）＞0（x∈（0，a）），又f（0）=0．证明：
xf（x）dx＞
f（x）dx．
| ∫ | a 0 |
| 2a |
| 3 |
| ∫ | a 0 |
▼优质解答
答案和解析
令F（x）=
tf(t)dt-
f(t)dt（x∈（0，a）），则
F′（x）=
xf(x)-
f(t)dt，
F″（x）=
xf′(x)-
f(x)，
F″′（x）=
xf″(x)．
因为f″（x）＞0，
所以F″′（x）＞0，
从而F″（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故∀x∈（0，a]，F″（x）＞F″（0）=-
f（0）=0．
所以F′（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故∀x∈（0，a]，F′（x）＞F′（0）=0．
所以，F（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故∀x∈（0，a]，F（x）＞F（0）=0．
从而，F（a）＞0，
即：
xf(x)dx＞
f(x)dx．
| ∫ | x 0 |
| 2x |
| 3 |
| ∫ | x 0 |
F′（x）=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| ∫ | x 0 |
F″（x）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
F″′（x）=
| 1 |
| 3 |
因为f″（x）＞0，
所以F″′（x）＞0，
从而F″（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故∀x∈（0，a]，F″（x）＞F″（0）=-
| 1 |
| 3 |
所以F′（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故∀x∈（0，a]，F′（x）＞F′（0）=0．
所以，F（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故∀x∈（0，a]，F（x）＞F（0）=0．
从而，F（a）＞0，
即：
| ∫ | a 0 |
| 2a |
| 3 |
| ∫ | a 0 |
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