已知数列{an}中a1=1，在a1、a2之间插入1个数，在a2、a3之间插入2个数，在a3、a4之间插入3个数，…，在an、an+1之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列{an}中的所有项按原有位置顺序构成一个

Question

已知数列{a_n}中a₁=1，在a₁、a₂之间插入1个数，在a₂、a₃之间插入2个数，在a₃、a₄之间插入3个数，…，在a_n、a_n+1之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列{a_n}中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{b_n}．
（1）若a₄=19，求{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足√(2Sn+λ)=b_n+μ（λ、μ为常数），求{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）设正项等差数列{b_n}的公差为d．
由题意可得：b₁=a₁=1，b₁₀=a₄=19，19=1+9d，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵√(2Sn+λ)=b_n+μ（λ、μ为常数），∴2Sn+λ=(bn+μ)2．
设正项等差数列{b_n}的公差为d>0．
分别取n=1，2，3可得

2+λ=(1+μ)2

2(2+d)+λ=(1+d+μ)2

2(3+3d)+λ=(1+2d+μ)2

，
解得λ=(1)/(4)，μ=(1)/(2)，d=1．
∴2Sn+(1)/(4)=(bn+(1)/(2))2，
化为2Sn=

b

2 n

+bn，
∴当n≥2时，2Sn-1=

b

2 n-1

+bn-1，
∴2b_n=

b

2 n

+bn-

b

2 n-1

-b_n-1，
化为（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-1）=0，
∵∀n∈N^*，b_n>0，
∴b_n-b_n-1=1，
∴等差数列{b_n}的公差为1，首项为1，
∴b_n=1+（n-1）=n．
∴a_n=b(n(n-1))/(2)+n=(n(n+1))/(2)．