如图所示，在同一直角坐标系xOy中，有双曲线y1＝k1x，直线y2=k2x+b1，y3=k3x+b2，且点A（2，5），点B（-6，n）在双曲线的图象上（1）求y1和y2的解析式；（2）若y3与直线x=4交于双曲线，且y3∥y2，

Question

如图所示，在同一直角坐标系xOy中，有双曲线y1＝(k1)/(x)，直线y₂=k₂x+b₁，y₃=k₃x+b₂，且点A（2，5），点B（-6，n）在双曲线的图象上
（1）求y₁和y₂的解析式；
（2）若y₃与直线x=4交于双曲线，且y₃∥y₂，求y₃的解析式；
（3）直接写出(k1)/(x)−k3x+b2＜0的解集．

Answer 1

（1）把A（2，5）代入双曲线y1＝(k1)/(x)得k₁=2×5=10，
∴y₁=(10)/(x)，
把B（-6，n）代入y₁=(10)/(x)得-6n=10，
解得n=-(5)/(3)，
∴B点坐标为（-6，-(5)/(3)），
把A（2，5），B（-6，-(5)/(3)）代入y₂=k₂x+b₁得

2k2+b1＝5

−6k2+b1＝−(5)/(3)

，
解得

k2＝(5)/(6)

b1＝(10)/(3)

，
∴y₂=(5)/(6)x+(10)/(3)；

（2）如图，把x=4代入y₁=(10)/(x)得y=(5)/(2)，
则C点坐标为（4，

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问题解析

（1）先把A（2，5）代入双曲线y1＝

(k1)/(x)可得到k₁=2×5=10，则y₁=(10)/(x)，再把B（-6，n）代入y₁=(10)/(x)可确定B点坐标为（-6，-(5)/(3)），然后利用待定系数法确定y₂的解析式为y₂=(5)/(6)x+(10)/(3)；
（2）直线y₃=k₃x+b₂，与双曲线的两个交点分别为C、D，把x=4代入y₁=(10)/(x)得y=(5)/(2)，则得到C点坐标为（4，(5)/(2)），又y₃∥y₂，则k₃=k₂=(5)/(6)，
然后把C（4，(5)/(2)）代入y₃=(5)/(6)x+b₂可解出得b₂=-(5)/(6)，从而确定y₃的解析式；
（3）解方程组

y＝(10)/(x)

y＝(5)/(6)x−(5)/(6)

得

x＝4

y＝(5)/(2)

或

x＝−3

y＝−(10)/(3)

，则D点坐标为（-3，-(10)/(3)），观察图象得到当-3＜x＜0或x＞4时，函数y₃=k₃x+b₂，的图象都在双曲线y1＝(k1)/(x)的上方，即(k1)/(x)-k₃x-b₂＜0．

名师点评

本题考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

考点点评：

本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法可求函数的解析式．也考查了观察图象的能力．

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