设图形A由x2+y2≤2x及y≥2-x确定，（1）求图形A的面积；（2）求由此图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积．

Question

设图形A由x²+y²≤2x及y≥2-x确定，
（1）求图形A的面积；
（2）求由此图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积．

Answer 1

（1）由题意，图形A={（x，y）|1≤x≤2，2−x≤y≤√(x2−2x)}
A的面积实际上是等于圆域x²+y²≤2x处于x轴上方和x=1右侧的面积（即四分之一圆面积），减去y=2-x与x=1和x轴所围成的三角形面积
∴图形A的面积
S＝(1)/(4)π−(1)/(2)
（2）V＝π

∫

1 0

[(1+√(1−y2))2−(2−y)2]dy
=π

∫

1 0

(2√(1−y2)−2y2+4y−2)dy
=π[(1)/(2)arcsiny+(1)/(2)y√(1−y2)−(2)/(3)y3+2y2−2y

]

1 0

=(1)/(8)π2−(2)/(3)π