已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F2，点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两

Question

已知椭圆C： (x2)/(a2)+ (y2)/(b2)=1(a>b>0)的离心率为 (1)/(2)，右焦点为F₂，点M在圆x²+y²=b²上，且M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P，Q两点．若△PF₂Q的周长为4，则椭圆C的方程为___．

Answer 1

椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1(a>b>0)的离心率为(1)/(2)，则a=2c，b=√(3)c，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴|PF₂|²=（x₁-c）²+y₁²=(1)/(4)（x₁-4c）²，
∴|PF₂|=2c-(1)/(2)x₁，
连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-3c²=(1)/(4)x₁²，
∴|PM|=(1)/(2)x₁，
∴|PF₂|+|PM|=2c，
同理可求|QF₂|+|QM|=2c，
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=4c．
∵△PF₂Q的周长为4，∴c=1，
∴a=2，b=√(3)，
∴椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1．
故答案为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1．