如图，过抛物线y2=2px（p>0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[-

Question

如图，过抛物线y²=2px（p>0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：

（1）求y₁+y₂的值；
（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[-1，3]时，求△ABP面积S_△ABP的最大值．

Answer 1

（1）∵点P（1，2）在抛物线上，∴2²=2p，解得p=2．
设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB．
则k_PA=(y1-2)/(x1-1)（x₁≠1），k_PB=(y2-2)/(x2-1)（x₂≠1），
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴k_PA=-k_PB．
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上，得
y₁²=4x₁，①y₂²=4x₂，②
∴y₁+2=-（y₂+2），∴y₁+y₂=-4．
（2）由①-②得直线AB的斜率为k_AB=-1．
因此设直线AB的方程为y=-x+b，由直线与抛物线方程联立，消去y得x²-（2b+4）x+b²=0，
由△≥0，得b≥-1，这时x₁+x₂=2b+4，x₁x₂=b²，
|AB|=4√(2)√(b+1)，又点P到直线AB的距离为d=(|3-b|)/(√(2))，
所以S_△ABP=√(2(b+1)(3-b)2)，
令f（x）=（x+1）（3-x）²（x∈[-1，3]），则由f′（x）=（3x-1）（x-3）=0，得x=(1)/(3)或x=3，
当x∈（-1，(1)/(3)）时，f′（x）>0，所以f（x）单调递增，当x∈（(1)/(3)，3）时，f′（x）>0，所以f（x）单调递减，
故f（x）的最大值为(256)/(27)，故△ABP面积S_△ABP的最大值为(16√(6))/(9)．