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已知x+1/x=3求x10+x5+1/x5+1/x10的值
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已知x+1/x=3求x10+x5+1/x5+1/x10的值
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答案和解析
x+1/x=3,x=3-1/x,
x²=x(3-1/x)=3x-1
x³=x(3x-1)
x^5=3x^4-x^3=x^3(3x-1)
x^10=3x^9-x^8=x^8(3x-1)
所以
x^10+x^5+1/x^5+1/x^10
=x^8(3x-1)+x^3(3x-1)+1/x^3(3x-1)+1/x^8(3x-1)
=x³(3x-1)(x^5+1)+[1/x³(3x-1)]*(1+1/x^5)
x²=x(3-1/x)=3x-1
x³=x(3x-1)
x^5=3x^4-x^3=x^3(3x-1)
x^10=3x^9-x^8=x^8(3x-1)
所以
x^10+x^5+1/x^5+1/x^10
=x^8(3x-1)+x^3(3x-1)+1/x^3(3x-1)+1/x^8(3x-1)
=x³(3x-1)(x^5+1)+[1/x³(3x-1)]*(1+1/x^5)
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