已知函数f（x）=13x3-12（m+3）x2+（m+6）x，x∈R．（其中m为常数）（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(1)/(3)x³-(1)/(2)（m+3）x²+（m+6）x，x∈R．（其中m为常数）
（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；
（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．

Answer 1

函数的定义域为R
（1）当m=4时，f（x）=x³-x²+10x，
∴f′（x）=x²-7x+10，令f′（x）＞0，解得x＞5或x＜2．令令f′（x）＜0，解得2＜x＜5列表

x	（-∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	(26)/(3)	↘	(25)/(6)	↗

所以函数的极大值点是x=2，极大值是(26)/(3)；函数的极小值点是x=5，极小值是(25)/(6)．
（2）f′（x）=x²-（m+3）x+m+6，要使函数y=f（x）在（0，+∞）有两个极值点，则

△＝(m+3)2−4(m+6)＞0

m+3＞0

m+6＞0

，
解得m＞3．
故实数m的取值范围为（3，+∞）