已知抛物线y=-x^2+2mx-m^2+2的顶点A在第一象限,过点A作AB垂直y轴,垂足为B,C是AB上的一点,过点C作CD垂直x轴,垂足为D,并交抛物线于点P若直线AP交y轴的正半轴于点E,且AC=CP,求三角形OPE的面积S取值范围

Question

已知抛物线y=-x^2+2mx-m^2+2的顶点A在第一象限,过点A作AB垂直y轴,垂足为B,C是AB上的一点,过点C作CD垂直x
轴,垂足为D,并交抛物线于点P若直线AP交y轴的正半轴于点E,且AC=CP,求三角形OPE的面积S取值范围?S=1/2*(M-1)*(M-2)请问m-1是如何来的

Answer 1

y= -x²+2mx-m^2+2 = 2 - (x - m)²
A(m, 2)
设C(c, 2) (0 < c < m)
代入抛物线方程: y = 2 - (c-m)²
P(c, 2 - (c-m)²)
AC = m - c
CP = 2 - 2 + (c-m)²) = (c-m)²
AC = CP
m - c = (c-m)² = (m - c)²
m = c (C与A重合,舍去)
m - c = 1, c = m -1
P(m-1, 1)
AP的方程：(y - 1)/(x - m +1) = (2-1)/(m - m +1)
y = x - m +2
E(0, 2 - m)
直线AP交y轴的正半轴于点E, m < 2
S = (1/2)*OE*OE上的高
= (1/2)(2-m)*P的横坐标
= (1/2)(2-m)(m -1) (P的横坐标与C的横坐标相同)