已知函数f（x）=x-alnx，a∈R．（Ⅰ）研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数f（x）有两个不同的零点x1、x2，且x1<x2．（1）求a的取值范围；（2）求证：x1x2>e2．

Question

已知函数f（x）=x-alnx，a∈R．
（Ⅰ）研究函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数f（x）有两个不同的零点x₁、x₂，且x₁<x₂．
（1）求a的取值范围；               
（2）求证：x₁x₂>e²．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域（0，+∞），f′(x)=1-(a)/(x)=(x-a)/(x)…..（2分）
①若a≤0，则f'（x）>0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增函数．
②若a>0，令f'（x）=0解得x=a，
则f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增；…．（4分）
（Ⅱ）证明：因为f（x）有两个不同的零点，由①知

a>0

f(a)=a-alna<0

⇒a>e…（6分）
且0<x₁<a<x₂，要证x1x2>e2，即证lnx₁+lnx₂>2⇐(x1)/(a)+(x2)/(a)>2⇐x1+x2>2a⇐x2>2a-x1
由于a>x₁，则2a-x₁>a，即证f（x₂）>f（2a-x₁）⇐f（x₁）>f（2a-x₁）…（8分）
设g（x）=f（x）-f（2a-x），x∈（0，a），只需证g（x）>0即可，
g（x）=（x-alnx）-[（2a-x）-aln（2a-x）]，
g′(x)=1-(a)/(x)+1-(a)/(2a-x)=-2((x-a)2)/(x(2a-x))<0…（10分）
可知g（x）在x∈（0，a）是单调递减函数，故g（x）>g（a）=0，
得证.x1x2>e2…..（12分）