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已知函数f(x)=x-alnx,a∈R.(Ⅰ)研究函数f(x)的单调性;(Ⅱ)设函数f(x)有两个不同的零点x1、x2,且x1<x2.(1)求a的取值范围;(2)求证:x1x2>e2.

题目详情
已知函数f(x)=x-alnx,a∈R.
(Ⅰ)研究函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设函数f(x)有两个不同的零点x1、x2,且x1<x2
(1)求a的取值范围;               
(2)求证:x1x2>e2
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f(x)的定义域(0,+∞),f′(x)=1-
a
x
=
x-a
x
…..(2分)
①若a≤0,则f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)单调递增函数.
②若a>0,令f'(x)=0解得x=a,
则f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增;….(4分)
(Ⅱ)证明:因为f(x)有两个不同的零点,由①知
a>0
f(a)=a-alna<0
⇒a>e…(6分)
且0<x1<a<x2,要证x1x2>e2,即证lnx1+lnx2>2
x1
a
+
x2
a
>2⇐x1+x2>2a⇐x2>2a-x1
由于a>x1,则2a-x1>a,即证f(x2)>f(2a-x1)⇐f(x1)>f(2a-x1)…(8分)
设g(x)=f(x)-f(2a-x),x∈(0,a),只需证g(x)>0即可,
g(x)=(x-alnx)-[(2a-x)-aln(2a-x)],
g′(x)=1-
a
x
+1-
a
2a-x
=-2
(x-a)2
x(2a-x)
<0…(10分)
可知g(x)在x∈(0,a)是单调递减函数,故g(x)>g(a)=0,
得证.x1x2>e2…..(12分)