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设函数f(x)=ex-e-x.(1)判断函数y=f(x)奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性并求函数y=f(x)在区间[2,3]的最大值和最小值(结果用分式表示)(3)证明:f(x)的导数f′(x)≥2.
题目详情
设函数f(x)=ex-e-x.(1)判断函数y=f(x)奇偶性;
(2)讨论f(x)的单调性并求函数y=f(x)在区间[2,3]的最大值和最小值(结果用分式表示)
(3)证明:f(x)的导数f′(x)≥2.
(2)讨论f(x)的单调性并求函数y=f(x)在区间[2,3]的最大值和最小值(结果用分式表示)
(3)证明:f(x)的导数f′(x)≥2.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)=ex-e-x=ex-
,ex>0,
函数y=f(x)的定义域为实数R关于原点对称 (2分)
又∵f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x)
∴函数y=f(x)为奇函数.(4分)
(2)f(x)的导数f′(x)=(ex-
)′=ex+e-x>0恒成立.所以函数y=f(x)定义域上 为单调增函数(也可用定义证明) ( 8分)
所以函数y=f(x)在区间[2,3]上也单调递增;函数y=f(x)在x=3处取得最大值,且最大值为f(3)=e3-e-3=
在x=2处取得最小值,且最小值为f(2)=e2-e-2=
( 12分)
(3)由于f(x)的导数f′(x)=(ex-
)′=ex+e-x≥2
=2,故f′(x)≥2.
(当且仅当x=0时,等号成立). (16分)
1 |
ex |
函数y=f(x)的定义域为实数R关于原点对称 (2分)
又∵f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x)
∴函数y=f(x)为奇函数.(4分)
(2)f(x)的导数f′(x)=(ex-
1 |
ex |
所以函数y=f(x)在区间[2,3]上也单调递增;函数y=f(x)在x=3处取得最大值,且最大值为f(3)=e3-e-3=
e6-1 |
e3 |
在x=2处取得最小值,且最小值为f(2)=e2-e-2=
e4-1 |
e2 |
(3)由于f(x)的导数f′(x)=(ex-
1 |
ex |
ex•e-x |
(当且仅当x=0时,等号成立). (16分)
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