设函数f（x）=ex-e-x．（1）判断函数y=f（x）奇偶性；（2）讨论f（x）的单调性并求函数y=f（x）在区间[2，3]的最大值和最小值（结果用分式表示）（3）证明：f（x）的导数f′（x）≥2．

Question

设函数f（x）=e^x-e^-x．（1）判断函数y=f（x）奇偶性；
（2）讨论f（x）的单调性并求函数y=f（x）在区间[2，3]的最大值和最小值（结果用分式表示）
（3）证明：f（x）的导数f′（x）≥2．

Answer 1

（1）∵f(x)=ex-e-x=ex-(1)/(ex)，e^x>0，
函数y=f（x）的定义域为实数R关于原点对称 　（2分）
又∵f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x）
∴函数y=f（x）为奇函数．（4分）
（2）f（x）的导数f′(x)=(ex-(1)/(ex))′=ex+e-x>0恒成立．所以函数y=f（x）定义域上 为单调增函数（也可用定义证明）　　　　　　（ 8分）
所以函数y=f（x）在区间[2，3]上也单调递增；函数y=f（x）在x=3处取得最大值，且最大值为f(3)=e3-e-3=(e6-1)/(e3)
在x=2处取得最小值，且最小值为f(2)=e2-e-2=(e4-1)/(e2)（ 12分）
（3）由于f（x）的导数f′(x)=(ex-(1)/(ex))′=ex+e-x≥2√(ex•e-x)=2，故f′（x）≥2．
（当且仅当x=0时，等号成立）．　　　　　　　　　　　　　　 （16分）