设连续型随机变量X的密度函数为f（x）=kex1/40，x＜00≤x＜2x≥2，求：（1）系数k；（2）X的分布函数；（3）P{X=1}，P{1＜X＜2}．

Question

设连续型随机变量X的密度函数为f（x）=

kex

1/4

0

，

x＜0

0≤x＜2

x≥2

，求：
（1）系数k；
（2）X的分布函数；
（3）P{X=1}，P{1＜X＜2}．

Answer 1

（1）由于

∫

+∞ −∞

f(x)dx＝1，即

∫

0 −∞

kexdx+

∫

2 0

(1)/(4)dx＝k+(1)/(2)＝1
∴k＝(1)/(2)
（2）由于F(x)＝P(X≤x)＝

∫

x −∞

f(x)dx，因此
当x＜0时，F(x)＝

∫

x −∞

(1)/(2)exdx＝(1)/(2)ex；
当0≤x＜2时，F(x)＝

∫

0 −∞

(1)/(2)exdx+

∫

x 0

(1)/(4)dx=(1)/(2)+(1)/(4)x；
当2≤x时，F(x)＝

∫

0 −∞

(1)/(2)exdx+

∫

2 0

(1)/(4)dx＝1
∴F(x)＝

(1)/(2)ex	，x＜0
(1)/(2)+(1)/(4)x	，0≤x＜2
1	，x≥2

（3）由于连续型随即变量在任意点处的概率都为0，因此P{X=1}=0
而P{1＜X＜2}=F(2)−F(1)＝

作业帮用户 2017-09-28

问题解析

（1）概率密度函数的性质①f（x）≥0，②

∫

+∞ −∞

f(x)dx＝1就可求出A；（2）直接根据分布函数的定义F(x)＝P(X≤x)＝

∫

x −∞

f(x)dx就可以求出来；（3）将区间的概率转化为分布函数在两个端点处的值求解．

名师点评

本题考点：

连续型随机变量的函数的概率密度定理；连续型随机变量的函数的分布函数的求解．

考点点评：

此题考查连续型随机变量的概率密度的性质、分布函数以及区间概率的求解，这些都是基础知识点．

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