设函数f（x）=ex-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f′（x1x2）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y=f

Question

设函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：f′（√(x1x2)）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；
（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记√((x2-1)/(x1-1))=t，求（a-1）（t-1）的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-ax+a，
∴f'（x）=e^x-a，
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，
当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，
当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，
于是当x=lna时，f（x）取得极小值，
∵函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，即a＞e²，
此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0，
存在3lna＞lna，f（3lna）=a³-3alna+a＞a³-3a²+a＞0，
又由f（x）在（-∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，
可知a＞e²为所求取值范围．
（2）∵

ex1-ax1+a=0 

ex2-ax2+a=0 

，
∴两式相减得a=(ex2-ex1)/(x2-x1)．
记(x2-x1)/(2)=s(s＞0)，则f′((x1+x2)/(2))=e(x1+x2)/(2)-(ex2-ex1)/(x2-x1)=(e(x1+x2)/(2))/(2s)[2s-(es-e-s)]，
设g（s）=2s-（e^s-e^-s），
则g'（s）=2-（e^s+e^-s）＜0，
∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而(e(x1+x2)/(2))/(2s)＞0，
∴f′((x1+x2)/(2))＜0．
又f'（x）=e^x-a是单调增函数，且(x1+x2)/(2)＞√(x1x2)
∴f′(√(x1x2))＜0．                         
（3）依题意有exi-axi+a=0，则a(xi-1)=exi＞0⇒x_i＞1（i=1，2）．
于是e(x1+x2)/(2)=a√((x1-1)(x2-1))，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，
∴x0=(x1+x2)/(2)∈(x1 ，x2)，即y₀=f（x₀）＜0，
由直角三角形斜边的中线性质，可知(x2-x1)/(2)=-y0，
∴y0+(x2-x1)/(2)=0，
即e(x1+x2)/(2)-(a)/(2)(x1+x2)+a+(x2-x1)/(2)=0，
∴a√((x1-1)(x2-1))-(a)/(2)(x1+x2)+a+(x2-x1)/(2)=0，
即a√((x1-1)(x2-1))-(a)/(2)[(x1-1)+(x2-1)]+((x2-1)-(x1-1))/(2)=0．
∵x₁-1≠0，则a√((x2-1)/(x1-1))-(a)/(2)(1+(x2-1)/(x1-1))+((x2-1)/(x1-1)-1)/(2)=0，
又√((x2-1)/(x1-1))=t，
∴at-(a)/(2)(1+t2)+(1)/(2)(t2-1)=0，
即a=1+(2)/(t-1)，
∴（a-1）（t-1）=2．