设X1，X2，…，Xn是n个独立同分布的随机变量，X1服从参数为λ的指数分布．令T=min（X1，X2，…，Xn），求随机变量T的密度函数．

Question

设X₁，X₂，…，X_n是n个独立同分布的随机变量，X₁服从参数为λ的指数分布．令T=min（X₁，X₂，…，X_n），求随机变量T的密度函数．

Answer 1

对于任意的实数x，随机变量T的分布函数为：
F_T（x）=P（T≤x）=P{min（X₁，X₂，…，X_n）≤x}
=1-P{min（X₁，X₂，…，X_n）>x}
=1-P（X₁>x，X₂>x，…X_n>x）
=1-P（X₁>x）P（X₂>x）…P（X_n>x）
=1-(1-P(X1≤x))(1-P(X2≤x))…(1-P(Xn≤x))=1-(1-FX(x))n．
所以，随机变量T的密度函数为：
fT(x)=F′T(x)=n(1-FX(x))n-1fX(x)．