已知k∈R，函数f（x）=lnx-kx．（Ⅰ）若k>0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的零点x1，x2，求证：x1•x2>e2．

Question

已知k∈R，函数f（x）=lnx-kx．
（Ⅰ）若k>0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的零点x₁，x₂，求证：x₁•x₂>e²．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=(1-kx)/(x)(x>0)在（0，(1)/(k)）上f'（x）>0，f（x）单调递增，在（(1)/(k)，+∞）上f'（x）<0，f（x）单调递减；
（Ⅱ）证明：设0<x₁<x₂，f（x₁）=f（x₂）=0，
lnx₁-kx₁=lnx₂-kx₂=0，
要证x₁x₂>e²即证lnx₁+lnx₂>2⇔k（x₁+x₂）>2⇔k>(2)/(x1+x2)⇔(lnx1-lnx2)/(x1-x2)>(2)/(x1-x2)⇔(x2)/(x1)>(2(x2-x1))/(x1+x2)
令(x2)/(x1)=t，则t>1，(x2)/(x1)>(2(x2-x1))/(x1+x2)⇔lnt>(2(t-1))/(t+1)
令g（t）=lnt-(2(t-1))/(t+1)(t>1)
g'（t）=((t-1)2)/(t(t+1)2)>0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，
故g（t）>g（1）=0，即lnt>(2(t-1))/(t+1)成立，∴x1x2>e2成立．