已知f（x）=lnx-x+m（m为常数）．（1）求f（x）的极值；（2）设m>1，记f（x+m）=g（x），已知x1，x2为函数g（x）是两个零点，求证：x1+x2<0．

Question

已知f（x）=lnx-x+m（m为常数）．
（1）求f（x）的极值；
（2）设m>1，记f（x+m）=g（x），已知x₁，x₂为函数g（x）是两个零点，求证：x₁+x₂<0．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx-x+m，∴f(x)=(1)/(x)-1，由f'（x）=0得x=1，
且0<x<1时，f'（x）>0，x>1时，f'（x）<0．
故函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
所以，函数f（x）的极大值为f（1）=m-1，无极小值．
（2）由g（x）=f（x+m）=ln（x+m）-x，
∵x₁，x₂为函数g（x）是两个零点，
∴

ln(x1+m)=x1

ln(x2+m)=x2

，即

x1+m=ex1

x2+m=ex2

，
令h（x）=e^x-x，则h（x）=m有两解x₁，x₂．
令h'（x）=e^x-1=0得x=0，
∴-m<x<0时，h′（x）<0，当x>0时，h′（x）>0，
∴h（x）在（-m，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∵h（x）=m的两解x₁，x₂分别在区间（-m，0）和（0，+∞）上，
不妨设x₁<0<x₂，
要证x₁+x₂<0，
考虑到h（x）在（0，+∞）上递增，只需证h（x₂）<h（-x₁），
由h（x₂）=h（x₁）知，只需证h（x₁）<h（-x₁），
令r（x）=h（x）-h（-x）=e^x-2x-e^-x，
则r′（x）=e^x+(1)/(ex)-2≥0，
∴r（x）单调递增，∵x₁<0，
∴r（x₁）<r（0）=0，即h（x₁）<h（-x₁）成立，
即x₁+x₂<0成立．