设ABCXYZ都是实数,如A平方+B平方+C平方=25X平方+Y平方+Z平方=36AX+BY+CZ=30试求2007A+5B+8C除以2007X+5Y+8Z的值

Question

设A B C X Y Z都是实数,如A平方+B平方+C平方=25 X平方+Y 平方+Z平方=36 AX+BY+CZ=30 试求2007A+5B+8C除以2007X+5Y+8Z的值

Answer 1

(A^2+B^2+C^2)(X^2+Y^2+Z^2)=25*36=(5*6)^2=30^2
所以(A^2+B^2+C^2)(X^2+Y^2+Z^2)=(AX+BY+CZ)^2
所以：
(AY)^2+(AZ)^2+(BX)^2+(BZ)^2+(CX)^2+(CY)^2=2AXBY+2BYCZ+2AXCZ
(AY-BX)^2+(AZ-CX)^2+(BZ-CY)^2=0
所以 AY=BX,AZ=CX,BZ=CY
即A/X=B/Y=C/Z
等比定理得所求式子值为k;
设：A/X=B/Y=C/Z=k
则A=kX,B=kY,C=kZ
因为 A^2+B^2+C^2=25
所以 (kX)^2+(kY)^2+(kZ)^2=25
k^2(X^2+Y^2+Z^2)=25
k^2=25/36
k=5/6 (A,X 同号,所以只取正)
即结果为 5/6