复数z满足|z|=1，且z2+2z+1z＜0．求z．

Question

复数z满足|z|=1，且z²+2z+(1)/(z)＜0．求z．

Answer 1

由题意可设z=cosα+isinα，
∴z²=cos²α-sin²α+2isinαcosα，
2z=2cosα+2isinα，(1)/(z)＝cosα−isinα
∴z2+2z+(1)/(z)＝(cos2α+3cosα)+(2sinαcosα+sinα)i＜0
∴

cos2α+3cosα＜0

2sinαcosα+sinα＝0

若sinα=0则cos2α=1，由cos2α+3cosα＜0，可得cosα=-1，z=-1
若cosα＝−(1)/(2)，则cos2α＝−(1)/(2)cos2α+3cosα＜0，可得z＝−(1)/(2)±(√(3))/(2)i
∴z=-1或z＝−(1)/(2)±(√(3))/(2)i．