求二重积分∫∫D3dxdy,其中D：4x^2+9y^2

Question

求二重积分 ∫∫D3dxdy,其中D：4x^2+9y^2

Answer 1

D:x²/9+y²/4=1,a=3,b=2
∫∫(D)3dxdy=3∫∫(D)dxdy即为3倍椭圆x²/9+y²/4=1的面积
∴∫∫(D)3dxdy=3πab=18π
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椭圆x²/a²+y²/b²=1面积计算过程：
椭圆关于x坐标轴和y坐标轴对称
椭圆面积S=4∫(0,a)b√(1-x²/a²)dx
=4b∫(0,a)√(1-x²/a²)dx
=4ab∫(0,π/2)cos²tdt (令x=asint)
=2ab∫(0,π/2)[1+cos(2t)]dt
=2ab[t+sin(2t)/2]│(0,π/2)
=2ab(π/2)
=πab
当然也可以用二重积分求
x=arcosθ ,y = brsinθ ,dxdy = abr drdθ
S = ∫(0,2π) dθ ∫(0,1) abr dr
= 2π* ab*(1/2)
= πab