已知圆C：X＾2＋Y＾2－2X＋4Y－4＝0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C所截得的弦长AB为直径的圆经过

Question

已知圆C：X＾2＋Y＾2－2X＋4Y－4＝0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C所截得的弦长AB为直径的圆经过

Answer 1

⊙C：x²+y²-2x+4y-4=(x-1)²/3²+(y+2)²/3²=1.
也就是说⊙C的圆心C的坐标为：C(1,-2),而⊙C的半径r=3.
假设存在这么一条直线L：y=x+b交⊙C于A、B,AB为直径的圆过原点,那么直线L的垂线y=-x与L的交点就是所求圆的圆心D.
而若要满足这个条件,D就是AB的中点,在⊙D中：OD=DA=DB=R.
把直线L代入⊙C：x²+y²-2x+4y-4=x²+(x+b)²-2x+4(x+b)-4=2x²+(2b+2)x+4b-4=0.
根据韦达定理：x1·x2=2b-2；D点的横坐标x=x1+x2=-b-1,y=y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=x1+x2+2b=b-1.
AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1+x2)²-4x1·x2+(y1+y2)²-4y1·y2=(b+1)²-8b-8+(b-1)²-4[x1·x2+b(x1+x2)+b²]=b²+2b+1-8b-8+b²-2b+1-4b+8=2b²-12b+10.
OD²=(b+1)²+(b-1)²=2b²+2
∵AB=2OD,∴AB²=4OD².
也就是说2b²-12b+10=8b²+8,解之：b=(-3±2√3)/3.
即L的方程为y=x-1-(2√3)/3或y=x+(2√3)/3-1.