已知圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0和圆N：x2+y2+2x+2y-6=0，直线l：x+y-9=0．（1）求过圆M，N的交点及原点O的圆已知圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0和圆N：x2+y2+2x+2y-6=0，直线l：x+y-9=0．（1）求过圆M，N的交点及原点O的圆

Question

已知圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0和圆N：x2+y2+2x+2y-6=0，直线l：x+y-9=0．（1）求过圆M，N的交点及原点O的圆
已知圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0和圆N：x²+y²+2x+2y-6=0，直线l：x+y-9=0．
（1）求过圆M，N的交点及原点O的圆的方程；
（2）过直线上一点作使∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上．
①当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
②求点A的横坐标的取值范围．

Answer 1

（1）根据题意，设所求圆的方程为2x²+2y²-8x-8y-1+λ（x²+y²+2x+2y-6）=0（λ≠-2），
又所求圆过原点O，则-1-6λ=0，得λ＝?(1)/(6)
所求圆的方程为2x2+2y2?8x?8y?1?(1)/(6)(x2+y2+2x+2y?6)＝0，即x2+y2?(50)/(11)x?(50)/(11)y＝0
（2）①当点A的横坐标为4时，则点A（4，5），而圆心M（2，2），则|AM|＝√(13)，
又∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，
则圆心M到边AC所在直线的距离为d＝|AM|sin∠BAC＝(√(26))/(2)，
设边AC所在直线的方程为y-5=k（x-4），
∴d＝(|3?2k|)/(√(k2+1))＝(√(26))/(2)，解得k=-5或k＝(1)/(5)．
则边AC所在直线的方程为y-5=-5（x-4）或y?5＝(1)/(5)(x?4)，
即5x+y-25=0或x-5y+21=0．
②∵A点在直线l：x+y-9=0上，设点A（m，9-m），则|AM|＝√(2m2?18m+53)，
而∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，且圆M的半径为(√(34))/(2)，
则(√(2))/(2)?√(2m2?18m+53)≤(√(34))/(2)，解得3≤m≤6．
即点A的横坐标的取值范围为[3，6]．