已知方程x^2+y^2-2x-4y+m=0,(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两,且0M⊥0N(0为坐标原点)求m的值、(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程

Question

已知方程x^2+y^2-2x-4y+m=0,(1)若此方程表示圆,求m的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两,且0M⊥0N(0为坐标原点)求m的值、(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程

Answer 1

（1）、x^2+y^2-2x-4y+m=0,
——》(x-1)^2+(y-2)^2=5-m>0,
——》m<5；
（2）、设M为(x1,y1),N为(x2,y2),
直线x+2y-4=0,——》x=4-2y,
代入圆的方程,得：(4-2y-1)^2+(y-2)^2=5-m,
整理得：5y^2-16y+(m+8)=0,
——》y1+y2=16/5,y1*y2=(m+8)/5,
M、N在直线x+2y-4=0上,
——》x1=4-2y1、x2=4-2y2,
kom=y1/x1,kon=y2/x2,
OM⊥ON,
——》kom*kon=-1=y1*y2/x1*x2,
——》x1*x2+y1*y2=0,
——》(4-2y1)*(4-2y2)+y1*y2=16-8(y1+y2)+5y1*y2=16-8*16/5+5*(m+8)/5=0,
——》m=8/5；
（3）、m=8/5代入方程得：5y^2-16y+(8/5+8)=0,
解得：y1=12/5,y2=4/5,
——》x1=4-2y1=-4/5,x2=4-2y2=12/5,
即M为(-4/5,12/5),N为(12/5,4/5),
——》MN中点坐标为(4/5,8/5),
以MN为直径的方程圆的方程为：
(x-4/5)^2+(y-8/5)^2=(-4/5-4/5)^2+(12/5-8/5)^2=16/5,
即：5x^2+5y^2-8x-16y=0.