已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=252，O为BC上一点，BO=72，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边

Question

已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=(25)/(2)，O为BC上一点，BO=(7)/(2)，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．

（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）

Answer 1

（1）符合条件的等腰△OMP只有1个；
点P的坐标为（(1)/(2)，4）；
（2）符合条件的等腰△OMP有4个．
如图②，在△OP₁M中，OP₁=OM=4，
在Rt△OBP₁中，BO=(7)/(2)，
BP₁=√(OP21−OB2)=√(42−((7)/(2))2)=(√(15))/(2)，
∴P₁（-(7)/(2)，(√(15))/(2)）；（5分）
在Rt△OMP₂中，OP₂=OM=4，
∴P₂（0，4）；
在△OMP₃中，MP₃=OP₃，
∴点P₃在OM的垂直平分线上，
∵OM=4，
∴P₃（2，4）；
在Rt△OMP₄中，OM=MP₄=4，
∴P₄（4，4）；
（3）若M（5，0），则符合条件的等腰三角形有7个．
点P的位置如图③所示．