已知函数f(x)=lnx，g(x)=-12x2+x．（1）设G（x）=2f（x）+g（x），求G（x）的单调递增区间；（2）证明：当x>0时，f（x+1）>g（x）；（3）证明：k<1时，存在x0>1，当x∈（1，x0）时，恒有f(x)+g

Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=-(1)/(2)x2+x．
（1）设G（x）=2f（x）+g（x），求G（x）的单调递增区间；
（2）证明：当x>0时，f（x+1）>g（x）；
（3）证明：k<1时，存在x₀>1，当x∈（1，x₀）时，恒有f(x)+g(x)-(1)/(2)>k(x-1)．

Answer 1

（1）由题意知，G(x)=2f(x)+g(x)=2lnx-(1)/(2)x2+x，(x>0)…（1分）
从而G′(x)=(2)/(x)-x+1=-(x2-x-2)/(x)…（2分）
令G'（x）>0得0<x<2…（3分）
所以函数G（x）的单调递增区间为（0，2）…（4分）
（2）令H(x)=f(x+1)-g(x)=ln(x+1)+(1)/(2)x2-x…（5分）
从而H′(x)=(1)/(x+1)+x-1=(x2)/(x+1)…（6分）
因为x>0，所以H'（x）>0，故H（x）在（0，+∞）上单调递增…（7分）
所以，当x>0时，H（x）>H（0）=0，
即f（x+1）>g（x）…（8分）
（3）当k<1时，
令F(x)=f(x)+g(x)-(1)/(2)-k(x-1)=lnx-(1)/(2)x2+x-(1)/(2)-k(x-1)，(x>0)…（9分）
则有F′(x)=(1)/(x)-x+1-k=(-x2+(1-k)x+1)/(x)…（10分）
由F'（x）=0得-x²+（1-k）x+1=0，
解之得，x1=(1-k-√((1-k)2+4))/(2)<0，x2=(1-k+√((1-k)2+4))/(2)>1，
…（11分）
从而存在x₀=x₂>1，当x∈（1，x₀）时，F'（x）>0，
故F（x）在[1，x₀）上单调递增，从而当x∈（1，x₀）时，F（x）>F（1）=0，
即f(x)+g(x)-(1)/(2)>k(x-1)…（12分）